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MensagemEnviado: 18 Mar 2011, 00:22 
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Quadro de Honra
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Demonstraremos alguns m√©todos para o c√°lculo da dist√Ęncia entre 2 pontos, dadas suas coordenadas.

1ª Forma

Tri√Ęngulo Pitag√≥rico

Imaginemos 2 pontos P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtemos a dist√Ęncia entre P e Q, tra√ßando as proje√ß√Ķes destes pontos
sobre os eixos coordenados, obtendo um tri√Ęngulo ret√Ęngulo e usando o Teorema de Pit√°goras.
Anexo:
Pitagoras1.png
Pitagoras1.png [ 682 Bytes | Exibido 24435 vezes ]

Assim, considerando 2 pontos de coordenadas (-22.902778, -43.206667) e (-23.548333, -46.636111)
Calculando-se a dist√Ęncia entre eles, tem-se:
Anexo:
Pitagoras2.png
Pitagoras2.png [ 2.14 KiB | Exibido 24434 vezes ]

Anexo:
Pitagoras3.png
Pitagoras3.png [ 2.75 KiB | Exibido 24434 vezes ]

A dist√Ęncia em graus resulta 3,4896744
O raio da terra tem aproximadamente 6371km.
Uma volta na terra tem 2 * pi * raio = 40030000m.
Podemos, atrav√©s de uma regra de 3 simples, obter a convers√£o do √Ęngulo encontrado para uma dist√Ęncia em metros:
Código:
360¬ļ       -  40030000m
3,4896744¬ļ  -  388032m

d = 388032m
-------------------------------------

2ª Forma
Lei dos Cossenos - Tri√Ęngulo Esf√©rico


Sabemos, contudo, que a superfície da terra não é plana, é elipsoidal. Podemos, para melhorar a precisão dos cálculos, considerá-la esférica, e utilizar trigonometria esférica.
A Longitude de um ponto no globo terrestre √© a dist√Ęncia medida em graus desde o Meridiano de Greenwich, que √© a refer√™ncia de Zero graus - at√© o Meridiano que passa por esse ponto.
A Latidude de um ponto no globo terrestre √© a dist√Ęncia medida em graus desde o Equador Terrestre, que √© a refer√™ncia de Zero Graus - at√© o c√≠rculo paralelo que passa por esse ponto.
Anexo:
TrianguloEsferico.gif
TrianguloEsferico.gif [ 1.21 KiB | Exibido 24434 vezes ]

Como vemos na figura, os pontos formam um tri√Ęngulo esf√©rico. Ao contr√°rio da trigonometria plana, n√£o √© suficiente conhecer dois √Ęngulos para resolver o tri√Ęngulo esf√©rico. √Č sempre necess√°rio conhecer no m√≠nimo tr√™s elementos: ou tr√™s √Ęngulos, ou tr√™s lados, ou dois lados e um √Ęngulo, ou um √Ęngulo e dois lados.
Dentre as f√≥rmulas principais para a solu√ß√£o dos tri√Ęngulos esf√©ricos temos a lei dos cossenos para os lados:
Código:
cos a = cos b * cos c + sen b * sen c * cos A
cos b = cos a * cos c + sen a * sen c * cos B
cos c = cos a * cos b + sen a * sen b * cos C

Vamos ent√£o agora repetir o c√°lculo da dist√Ęncia atrav√©s da lei dos cossenos para o tri√Ęngulo esf√©rico.
Anexo:
Cossenos.gif
Cossenos.gif [ 11.89 KiB | Exibido 24433 vezes ]

Observe que do ponto A localizado no extremo norte at√© a linha do equador h√° arcos de 90¬ļ.
O √Ęngulo A, formado entre b e c √© a diferen√ßa entre as longitudes dos pontos.
Código:
arco b = 90 - (-22.902778) = 112.902778
arco c = 90 - (-23.548333) = 113.548333
A = -43.206667 - (-46.636111) = 3.429444

cos a = cos b * cos c + sen b * sen c * cos A
cos a = cos(112.902778)*cos(113.548333) + sen(113.548333)*sen(112.902778)*cos(-3.429444)
cos a = (-0,3891686 * -0,3995225) + (0,9167234 * 0,9211665 * 0,9982092)
cos a = 0,1554816 + 0,8429426 = 0,9984242
a = arc cos(0,9984242) = 3,2169568¬ļ
O raio da terra tem aproximadamente 6371km. Uma volta na terra tem 2 * pi * raio = 40030000m.
Podemos, atrav√©s de uma regra de 3 simples, obter a convers√£o do √Ęngulo encontrado para uma dist√Ęncia em metros:
Código:
360¬ļ         -  40030000m
3,2169568¬ļ    -  357708m

d = 357708m
------------------------------

3ª Forma
Fórmula de Haversine


A F√≥rmula de Haversine √© equa√ß√£o utilizada em navega√ß√£o, fornecendo dist√Ęncia entre 2 pontos de uma esfera, a partir de suas latitudes e longitudes. Quando aplicada √† Terra, ela representa apenas uma aproxima√ß√£o, pois o nosso planeta n√£o √© uma esfera perfeita. O raio da Terra √© vari√°vel: nos polos √© da ordem de 6357km; enquanto que no equador 6378km. Nos c√°lculos utilizados estamos considerando um valor de raio m√©dio geralmente aceito, 6371km. A imprecis√£o dos c√°lculos aumenta conforme nos afastamos da linha do equador.
Se for desejada uma precisão ainda maior do que a obtida com Haversine, aconselha-se a utilização da Fórmula de Vincenty, que leva em consideração o achatamento da Terra nos polos, a sua carterística elíptica.
A f√≥rmula utiliza a fun√ß√£o seno verso - versine(). O seno verso de um √Ęngulo A, tem a seguinte rela√ß√£o:
versin(A) = 1 - cos(A). Haversine significa a metade do seno verso (half versine).
Assim, há a relação: (1-cos(A))/2 = sen(A/2) * sen (A/2)
Haversine:
Código:
Raio_da_terra = 6371; // km
dLat = (lat2-lat1) //diferença das latitudes dos pontos em radianos
dLon = (lon2-lon1) //diferença das longitudes dos pontos em radianos
a = sen(dLat/2) * sen(dLat/2) + cos(lat1) * cos(lat2) * sen(dLon/2) * sen(dLon/2)
c = 2 * atan2(sqrt(a), sqrt(1-a));
distancia = Raio_da_terra * c;

O valor a é o quadrado da metade do arco entre os pontos.
O valor c √© a dist√Ęncia em √Ęngulos radianos encontrada.

Ent√£o voltemos a calcular, agora com a f√≥rmula haversine, a dist√Ęncia entre os pontos (-22.902778, -43.206667) e (-23.548333, -46.636111). Os √Ęngulos s√£o em radianos.
Código:
lat1 = -22.902778 * 3.1415927 / 180 = -0.3997289
long1 = -43.206667 * 3.1415927 / 180 = -0.7540986
lat2 = -23.548333 * 3.1415927 / 180 = -0.4109959
long2 = -46.636111 * 3.1415927 / 180 = -0.81395369
dLat = -0.0112671
dLon = -0.0598551
a = sen(-0.00563353)*sen(-0.00563353) + cos(-0.3997289)*cos(-0.4109959)*sen(-0.02992754) = 0.0007878533
c = 0.056144822

d = 6731 * 0.056144822 * 1000 = 357699m

----------------------------------
4ª Forma
Google Earth


Utilizando-se da ferramenta r√©gua, medimos a dist√Ęncia entre as coordenadas no mapa.
Desconhecemos o algoritmo e o raio da Terra que o Google utiliza para os c√°lculos.
Anexo:
GoogleEarth.png
GoogleEarth.png [ 485.36 KiB | Exibido 24429 vezes ]

d = 357781m

----------------------------------
Conclus√£o

Como observamos, há pouca diferença de resultado entre a 2ª e 3ª forma de cálculo.
A 2¬™ forma contudo, √© pouco indicada para dist√Ęncias curtas.
A 4ª forma pode tornar-se imprecisa, já que a marcação da reta é sujeita a erro.

1ª forma - pitágoras - d = 388032m
2ª forma - cossenos - d = 357708m
3ª forma - haversine - d = 357699m
4ª forma - google - d = 357781m

Fontes:
http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm
http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1705u43.jhtm
http://mathforum.org/library/drmath/view/51879.html
http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html
http://www.brasilescola.com/matematica/ ... etrico.htm
http://caraipora.tripod.com/calc_dist_e ... pontos.htm
http://blog.shander.eng.br/2011/03/calc ... errestres/

Anexo:
MRassin.jpg
MRassin.jpg [ 9.54 KiB | Exibido 21511 vezes ]


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MensagemEnviado: 18 Mar 2011, 16:04 
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Quadro de Honra
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Tem um "jeitinho" simples para calcular a dist√Ęncia aproximada de 2 pontos a partir de suas coordenadas lat,long. Pegue a primeira f√≥rmula da mensagem anterior (a pitagoras2.png), use os valores de latitude e longitude no lugar de x e y e multiplique o resultado por 110 (o n√ļmero do logotipo do Maparadar). Pronto, dist√Ęncia em quil√≥metros. Para metros, multiplique por 1000.

Numa calculadora cient√≠fica que tenha x¬≤ (x ao quadrado) e ‚ąö (raiz quadrada), a sequ√™ncia de digita√ß√£o seria:

MC (limpa a memória)
lat1 - lat2 = x² M+ (acumula para a memória)
long1 - long2 = x² M+
MR ‚ąö (raiz quadrada) x 110 =


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MensagemEnviado: 18 Mar 2011, 20:39 
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Quadro de Honra
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:idea: Este n√ļmero m√°gico 110 vem da rela√ß√£o (2 * pi * raio da terra) / 360 :?:
2 * 3,141592654 * 6371 / 360 :arrow: 111
Pelo menos é uma aproximação disso e é semelhante à regra de 3 aplicada nos cálculos.

_________________
...::: JefersonBA :::...


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MensagemEnviado: 18 Mar 2011, 21:07 
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Isso mesmo! √Č exatamente o resultado da sua regra de tr√™s! Arredondei para 110 para coincidir com o logo do Maparadar :mrgreen: O erro √© de menos de 1%, ent√£o... ;)

Mas não precisava contar, assim acaba o mistério! :D :D :D


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MensagemEnviado: 07 Mai 2012, 20:51 
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Boa noite pessoal desculpe reabrir o tópico, sou novato nesses assuntos de latitude longitude etc... vi isso no ensino médio e agora depois de alguns anos me deparei novamente com esses assunto na pós-graduação a distancia.

e estou com um exerc√≠cio e estou com um pouco de d√ļvidas. √© o seguinte tenho 6 munic√≠pios cada um com uma long. e lat.

Munic. longitude latitude
A -48.1844 -18.6586
B -46.5145 -18.5909
C -48.2791 -18.9186
D -47.9413 -19.7557
E -46.9333 -19.5953
F -46.9979 -18.9316

Tenho que encontrar o melhor munic√≠pio para instala√ß√£o de um posto de sa√ļde com base apenas na distancia em linha reta entre os pontos. ai manda fazer o seguinte, somar as latitudes e dividir pelo numero de pontos e o mesmo para longitude.

que daria:

Longitude - 47.4750
latitude - 19.0751

bom e depois pede para usar o teorema de Pitágoras para calcular a distancia entre cada município e o centro médio geográfico.

essa parte que ta pegando... isso é se a primeira parte está certa.

N√£o quero que achem que eu quero que fa√ßam meu dever :(, estou ai para aprender e um dia poder ajudar os que tem d√ļvidas.

Grande abraço..


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MensagemEnviado: 11 Mai 2012, 12:33 
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Quadro de Honra
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Essa é boa, agora querem que a gente faça tarefa de escola... :D O que você foi arrumar, Jeferson?!!

Rafael, a m√©dia das latitudes e longitudes que voc√™ calculou √© seu centro m√©dio geogr√°fico. Use isto junto com a f√≥rmula Pitagoras2.png do Jeferson para calcular a dist√Ęncia para cada cidade. Substitua os X pela longitude e os Y pela latitude.

Cada resultado deve ser convertido para metros (ou quil√īmetros) usando a regra de 3 expilcada pelo Jeferson logo abaixo da f√≥rmula 2. Se n√£o souber usar regra de 3 (!!!) pode tamb√©m multiplicar cada resultado por 111 para obter a dist√Ęncia em quil√≥metros.

Daqui pra frente, vamos cobrar para resolver tarefas escolares! Isso foi só uma amostra grátis! :lol: :lol: :lol:


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MensagemEnviado: 11 Mai 2012, 16:03 
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Quadro de Honra
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Ser√° que foi o mestre escadajr que passou este problema. :D


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MensagemEnviado: 11 Mai 2012, 16:09 
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Quadro de Honra
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N√£o... os problemas que eu passo s√£o bem mais cabeludos. :mrgreen:


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 T√≠tulo: Yes
MensagemEnviado: 22 Ago 2012, 02:37 
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Novato

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+1. isto é muito interessante


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MensagemEnviado: 07 Nov 2012, 15:04 
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Aprendiz
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Localização: BRASIL - SP - São Paulo
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Muito bom esse tutorial.

Com rela√ß√£o √† 4¬™ forma, cabem as seguintes observa√ß√Ķes:

1) A ferramenta r√©gua do Google Earth n√£o tra√ßa retas e sim arcos sobre a superf√≠cie da Terra. Quando os pontos s√£o pr√≥ximos, parece reta. Para pontos distantes percebe-se que √© um arco, como na figura abaixo, mostrando o c√°lculo da dist√Ęncia entre Buenos Aires e Lisboa, que resulta igual a 9573446 m.

Anexo:
Clipboard01.jpg
Clipboard01.jpg [ 29.79 KiB | Exibido 20718 vezes ]


2) A Ferramenta √© bastante sofisticada, pois os arcos s√£o tra√ßados sobre uma Terra que n√£o √© esf√©rica e sim um elips√≥ide achatado, o que √© o padr√£o em c√°lculos geod√©sicos de precis√£o. Para verificar isso, calcula-se a dist√Ęncia entre dois pontos A e B, opostos entre si, em duas situa√ß√Ķes:

O ponto A est√° no polo norte. O ponto oposto B est√° no polo sul. A ferramenta r√©gua fornece a dist√Ęncia de 20003918 m.

O ponto A est√° no equador (latitude 0 e longitude 0). O ponto oposto B tamb√©m est√° no equador (latitude 0, longitude 180 graus). A ferramenta r√©gua fornece a dist√Ęncia de 20037509 m

Ou seja, devido ao achatamento terrestre, a dist√Ęncia polo a polo, ao longo de um meridiano, √© cerca de 34 km menor que a dist√Ęncia entre dois pontos opostos ao longo do equador.

Sauda√ß√Ķes a todos.


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MensagemEnviado: 05 Nov 2013, 23:23 
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Aprendiz

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Ol√°, Jefer !
Estava usando este post para calcular dist√Ęncia entre cidades, me deparei com um erro de digita√ß√£o,
se poss√≠vel, gostaria que fosse corrigido. √Č no m√©todo "3¬™ Forma - F√≥rmula de Haversine"
No Primeiro quadro de c√≥digo, √° pen√ļltima linha diz:
Código:
c = 2 * atan2(sqrt(a), sqrt(1-a))

N√£o entendi esta conta.
E, no exemplo h√° a conta:
Código:
d = 6731 * 0.056144822 * 1000 = 357699m

Calculei, o valor deu 377910m

Obrigado,

Jo√£o


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MensagemEnviado: 07 Nov 2013, 10:37 
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Aprendiz
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Registrado em: 01 Out 2012, 20:26
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Localização: BRASIL - SP - São Paulo
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Ol√°, joaoBC!

Posso dar um palpite?
Aparentemente o jefersonba errou na digitação do raio da Terra:
Código:
d = 6731 * 0.056144822 * 1000 = 357699m

Não é 6731 km. O correto é 6371 km.

Quanto à fórmula
Código:
c = 2 * atan2(sqrt(a), sqrt(1-a))

O valor a é o quadrado do seno da metade do arco entre os pontos. Desse modo, sqrt(a) é o seno da metade do arco entre os pontos e sqrt(1-a) é o cosseno da metade do arco entre os pontos. A função atan2 é o arco tangente.
Considerando a definição do Haversine, em vez de usar o arco tangente (atan2), pode-se também usar o arco seno (asin). O resultado é o mesmo.
Código:
c = 2 * asin(sqrt(a))


Abraço.


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MensagemEnviado: 07 Nov 2013, 17:57 
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Aprendiz

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Ol√°, wlau, obrigado pela ajuda !!

Realmente eu não "reparei" na troca dos dígitos, de 6371 para 6731.
Se n√£o se importar, preciso ainda de mais ajuda: o que n√£o entendi
foi a fórmula do arco tangente de dois valores, no post, ao invés de
estar "atan(x)" est√° "atan(x,y)" ou, melhor dizendo,
[atan((sqrt(a), sqrt(1-a))]^2

Depois da sua dica, eu "pesquei" que o certo seria sqrt(a) / sqrt(1-a)
ou seja, o seno dividido pelo cosseno (assim, teremos a tangente) e a fun√ß√£o arco dar√° o √Ęngulo.
Viajei na maionese ou é isto mesmo ? Pois em algumas linguagens de programação, existe a função
arco tangente mas não a arco seno nem a arco cosseno... O erro foi a vírgula e não a divisão.
Também confundiu o fato de usar "atan2" ao invés de "atan", algo como "quadrado do
arco tangente" ou "arco tangente ao quadrado" ao invés de simplesmente "arco tangente"
como você explicou...
Fiz o c√°lculo, agora sim, bateu certinho. Era realmente uma divis√£o no arco tangente
"n√£o ao quadrado" :mrgreen:


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